Analyse mathématique -Cours-

Analyse mathématiques
La notion de dérivée a provoqué une révolution de l’analyse mathématique.
Elle a été inventée indépendamment par Newton et Leibniz au XVII siècle. C’est grâce à la dérivée que Newton a pu écrire les équations du mouvement d’un corps soumis à des forces et qu’il a pu calculer le mouvement des planètes autour du soleil. Comme nous le verrons par la suite, la dérivée est aussi utile pour le calcul d’aires, de volumes,…

sommaire de cours analyse mathématique
1 Logique et raisonnements

Logique
Raisonnements
2 Ensembles et applications

Ensembles
Applications
Injection, surjection, bijection
Ensembles finis
Relation d’équivalence
3 Nombres complexes

Les nombres complexes
Racines carrées, équation du second degré
Argument et trigonométrie
Nombres complexes et géométrie
4 Arithmétique

Division euclidienne et pgcd
Théorème de Bézout
Nombres premiers
Congruences
5 Polynômes

Définitions
Arithmétique des polynômes
Racine d’un polynôme, factorisation
Fractions rationnelles
6 Les nombres réels

L’ensemble des nombres rationnels Q
Propriétés de R
Densité de Q dans R
Borne supérieure
7 Les suites

Définitions
Limites
Exemples remarquables
Théorème de convergence
Suites récurrentes
8 Limites et fonctions continues

Notions de fonction
Limites
Continuité en un point
Continuité sur un intervalle
Fonctions monotones et bijections
9 Fonctions usuelles

Logarithme et exponentielle
Fonctions circulaires inverses
Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses
10 Dérivée d’une fonction

Dérivée
Calcul des dérivées
Extremum local, théorème de Rolle
Théorème des accroissements finis
11 Zéros des fonctions

La dichotomie
La méthode de la sécante
La méthode de Newton
12 Intégrales

L’intégrale de Riemann
Propriétés de l’intégrale
Primitive d’une fonction
Intégration par parties – Changement de variable
Intégration des fractions rationnelles
13 Développements limités

Formules de Taylor
Développements limités au voisinage d’un point
Opérations sur les développements limités
Applications des développements limités
14 Groupes

Groupe
Sous-groupes
Morphismes de groupes
Le groupe Z/nZ
Le groupe des permutations Sn
15 Espaces vectoriels

Espace vectoriel (début)
Espace vectoriel (fin)
Sous-espace vectoriel (début)
Sous-espace vectoriel (milieu)
Sous-espace vectoriel (fin)
Application linéaire (début)
Application linéaire (milieu)
Application linéaire (fin)
16 Matrices

Définition
Multiplication de matrices
Inverse d’une matrice : définition
Inverse d’une matrice : calcul
Inverse d’une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires
Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices symétriques
17 Leçons de choses

Travailler avec les vidéos
Alphabet grec
Écrire des mathématiques : LATEX en cinq minutes
Formules de trigonométrie : sinus, cosinus, tangente
Formulaire : trigonométrie circulaire et hyperbolique
Formules de développements limités
Formulaire : primitives
18 Algorithmes et mathématiques

Premiers pas avec Python
Écriture des entiers
Calculs de sinus, cosinus, tangente
Les réels
Arithmétique – Algorithmes récursifs
Polynômes – Complexité d’un algorithme
19 Cryptographie

Le chiffrement de César
Le chiffrement de Vigenère
La machine Enigma et les clés secrètes
La cryptographie à clé publique
L’arithmétique pour RSA
Le chiffrement RSA

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